Elementarmathematik Beispiele

$x + y + 4 z = 1$ , $3 x + 2 y + 11 z = 1$ , $x + 3 z = - 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 4 z = 1 - y$

$3 x + 2 y + 11 z = 1$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - y - 4 z$

$3 x + 2 y + 11 z = 1$

$x + 3 z = - 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 x + 2 y + 11 z = 1$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 - y - 4 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x + 2 y + 11 z = 1$ durch $1 - y - 4 z$ .

$3 (1 - y - 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (1 - y - 4 z) + 2 y + 11 z$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 1 + 3 (- y) + 3 (- 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 3 (- y) + 3 (- 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 3 y + 3 (- 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$3 - 3 y - 12 z + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - 3 y - 12 z + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - 3 y - 12 z + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $- 3 y$ und $2 y$ .

$3 - y - 12 z + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $- 12 z$ und $11 z$ .

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Schritt 2.3

Ersetze alle $x$ in $x + 3 z = - 1$ durch $1 - y - 4 z$ .

$(1 - y - 4 z) + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Addiere $- 4 z$ und $3 z$ .

$1 - y - z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 - y - z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 - y - z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3

Löse in $1 - y - z = - 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - z = - 1 - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 1 - 1 + z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- y = - 2 + z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$- y = - 2 + z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 2 + z$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 2 + z$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$y = 2 + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{z}{- 1}$ .

$y = 2 - 1 \cdot z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot z$ als $- z$ um.

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2 - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $3 - y - z = 1$ durch $2 - z$ .

$3 - (2 - z) - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 - (2 - z) - z$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 - 1 \cdot 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2.1.1.3

Multipliziere $- - z$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 - 2 + 1 z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 - 2 + z - z$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$3 - 2 + 0 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Addiere $3 - 2$ und $0$ .

$3 - 2 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 - 2 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Schritt 4.3

Ersetze alle $y$ in $x = 1 - y - 4 z$ durch $2 - z$ .

$x = 1 - (2 - z) - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $1 - (2 - z) - 4 z$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 1 - 1 \cdot 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.1.3

Multipliziere $- - z$ .

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Schritt 4.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 - 2 + 1 z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x = - 1 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $4 z$ von $z$ .

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Schritt 5

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$x = - 1 - 3 z$

$y = 2 - z$