Elementarmathematik Beispiele

$- 2 x + y - 2 z = - 15$ , $- x + y - z = - 11$ , $z = - 5$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $y$ .

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$- x + y - z = - 11$

Schritt 2

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$(- 1) \cdot (- x + y - z) = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (- x + y - z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$- 1 (- x) - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$1 x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (- 11)$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - 1 y - 1 (- z) = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y - 1 (- z) = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Multipliziere $- 1 (- z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + 1 z = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2.1.1.2.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = (- 1) (- 11)$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = (- 1) (- 11)$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = (- 1) (- 11)$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = (- 1) (- 11)$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = (- 1) (- 11)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = 11$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = 11$

$- 2 x + y - 2 z = - 15$

$x - y + z = 11$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$2$	$x$	$+$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
$+$			$x$	$-$	$y$	$+$		$z$	$=$		$1$	$1$
		$-$	$x$				$-$	$z$	$=$		$-$	$4$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$- x - z = - 4$

Schritt 3

Nimm die resultierende Gleichung und die dritte ursprüngliche Gleichung und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $z$ .

$- x - z = - 4$

$z = - 5$

Schritt 4

Eliminiere $z$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Addiere die beiden Gleichungen, um $z$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$x$	$-$	$z$	$=$	$-$	$4$
$+$				$z$	$=$	$-$	$5$
	$-$	$x$			$=$	$-$	$9$

Schritt 4.2

In der resultierenden Gleichung ist $z$ eliminiert.

$- x = - 9$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x = 9$

Schritt 5

Setze den Wert von $x$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde und löse nach der verbleibenden Variablen auf.

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Schritt 5.1

Setze den Wert von $x$ in eine Gleichung ein, aus der $y$ bereits eliminiert wurde.

$- (9) - z = - 4$

Schritt 5.2

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 - z = - 4$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- z = - 4 + 9$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$- z = 5$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- z = 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- z = 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- z}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{z}{1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{5}{- 1}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$z = - 5$

Schritt 6

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein und löse nach der letzten Variablen auf.

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Schritt 6.1

Setze den Wert jeder bekannten Variablen in eine der initialen Gleichungen ein.

$- 2 \cdot 9 + y - 2 \cdot - 5 = - 15$

Schritt 6.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- 2 \cdot 9 + y - 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$- 18 + y - 2 \cdot - 5 = - 15$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$- 18 + y + 10 = - 15$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 18$ und $10$ .

$y - 8 = - 15$

Schritt 6.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 15 + 8$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 15$ und $8$ .

$y = - 7$

Schritt 7

Die Lösung des Gleichungssystems kann durch einen Punkt dargestellt werden.

$(9, - 7, - 5)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(9, - 7, - 5)$

Gleichungsform:

$x = 9, y = - 7, z = - 5$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
$+$			$x$	$-$	$y$	$+$		$z$	$=$		$1$	$1$
		$-$	$x$				$-$	$z$	$=$		$-$	$4$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
$+$			$x$	$-$	$y$	$+$		$z$	$=$		$1$	$1$
		$-$	$x$				$-$	$z$	$=$		$-$	$4$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$y$	$-$	$2$	$z$	$=$	$-$	$1$	$5$
$+$			$x$	$-$	$y$	$+$		$z$	$=$		$1$	$1$
		$-$	$x$				$-$	$z$	$=$		$-$	$4$