Elementarmathematik Beispiele

$x - 2 y + 3 z = 6$ , $2 x + y + z = 2$ , $- 2 x + 4 y - 6 z = - 12$

Schritt 1

Wähle zwei Gleichungen und eliminiere eine Variable. In diesem Fall eliminiere $x$ .

$x - 2 y + 3 z = 6$

$2 x + y + z = 2$

Schritt 2

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 2.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $x$ umkehrt.

$(- 2) \cdot (x - 2 y + 3 z) = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $(- 2) \cdot (x - 2 y + 3 z)$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x - 2 (- 2 y) - 2 (3 z) = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- 2 x + 4 y - 2 (3 z) = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 2 x + 4 y - 6 z = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

$- 2 x + 4 y - 6 z = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

$- 2 x + 4 y - 6 z = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

$- 2 x + 4 y - 6 z = (- 2) (6)$

$2 x + y + z = 2$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$- 2 x + 4 y - 6 z = - 12$

$2 x + y + z = 2$

$- 2 x + 4 y - 6 z = - 12$

$2 x + y + z = 2$

$- 2 x + 4 y - 6 z = - 12$

$2 x + y + z = 2$

Schritt 2.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

Schritt 2.4

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 3

Wähle zwei weitere Gleichungen und eliminiere $x$ .

$2 x + y + z = 2$

$- 2 x + 4 y - 6 z = - 12$

Schritt 4

Eliminiere $x$ aus dem System.

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Schritt 4.1

Addiere die beiden Gleichungen, um $x$ aus dem System zu beseitigen.

		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

Schritt 4.2

In der resultierenden Gleichung ist $x$ eliminiert.

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 5

Nimm die resultierenden Gleichungen und eliminiere eine weitere Variable. Eliminiere in diesem Fall $y$ .

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 6

Eliminiere $y$ aus dem System.

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Schritt 6.1

Multipliziere jede Gleichung mit dem Wert, der das Vorzeichen der Koeffizienten von $y$ umkehrt.

$(- 1) \cdot (5 y - 5 z) = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(- 1) \cdot (5 y - 5 z)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (5 y) - 1 (- 5 z) = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 6.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 y - 1 (- 5 z) = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 5 y + 5 z = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

$- 5 y + 5 z = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

$- 5 y + 5 z = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

$- 5 y + 5 z = (- 1) (- 10)$

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$- 5 y + 5 z = 10$

$5 y - 5 z = - 10$

$- 5 y + 5 z = 10$

$5 y - 5 z = - 10$

$- 5 y + 5 z = 10$

$5 y - 5 z = - 10$

Schritt 6.3

Addiere die beiden Gleichungen, um $y$ aus dem System zu beseitigen.

	$-$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
$+$		$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$
						$0$	$=$			$0$

Schritt 6.4

In der resultierenden Gleichung ist $y$ eliminiert.

$0 = 0$

Schritt 7

Da die resultierende Gleichung keine Variablen enthält und wahr ist, hat das Gleichungssystem eine unendliche Anzahl von Lösungen.

Unendliche Anzahl von Lösungen

	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

	$-$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
$+$		$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$
						$0$	$=$			$0$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

	$-$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
$+$		$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$
						$0$	$=$			$0$

	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
$+$		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

		$2$	$x$	$+$		$y$	$+$		$z$	$=$			$2$
$+$	$-$	$2$	$x$	$+$	$4$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$2$
					$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$

	$-$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
$+$		$5$	$y$	$-$	$5$	$z$	$=$	$-$	$1$	$0$
						$0$	$=$			$0$