Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{3}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3}$

Schritt 2.1.2.4

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Schritt 2.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Schritt 2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3}$

Schritt 2.2.3

Bewege $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3}$

Schritt 2.2.4

Bewege $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Schritt 2.2.5

Stelle $12 h^{2} x$ und $4 h^{3}$ um.

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - (4 x^{3})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3}}{h}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 0}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ und $0$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h^{3}$ heraus.

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $4 h$ aus $12 h^{2} x$ heraus.

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 12 h x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $4 h$ aus $12 h x^{2}$ heraus.

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.4.4

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x)$ heraus.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.4.5

Faktorisiere $4 h$ aus $4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ durch $1$ .

$4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 h^{2} + 4 (3 h x) + 4 (3 x^{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 4 (3 x^{2})$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 12 x^{2}$

Schritt 4.4

Bewege $h$ .

$4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2}$

Schritt 4.5

Bewege $4 h^{2}$ .

$12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2}$

Schritt 4.6

Stelle $12 x h$ und $12 x^{2}$ um.

$12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2}$

Schritt 5