Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2} - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h)) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h)) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2} - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 (h x) + 4 h^{2} - 2 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 x - 2 h$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 x - 2 h$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 x - 2 h$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $- 2 x$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x$

Schritt 2.2.2

Bewege $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

Schritt 2.2.3

Stelle $8 h x$ und $4 h^{2}$ um.

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - (4 x^{2} - 2 x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - (4 x^{2}) - (- 2 x)}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - 4 x^{2} - (- 2 x)}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - 4 x^{2} + 2 x}{h}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h - 2 x + 0 + 2 x}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $4 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h - 2 x + 2 x}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $4 h^{2} + 8 h x - 2 h$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $2 h$ aus $4 h^{2} + 8 h x - 2 h$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $2 h$ aus $4 h^{2}$ heraus.

$\frac{2 h (2 h) + 8 h x - 2 h}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $2 h$ aus $8 h x$ heraus.

$\frac{2 h (2 h) + 2 h (4 x) - 2 h}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere $2 h$ aus $- 2 h$ heraus.

$\frac{2 h (2 h) + 2 h (4 x) + 2 h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.8.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (2 h) + 2 h (4 x)$ heraus.

$\frac{2 h (2 h + 4 x) + 2 h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.8.5

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (2 h + 4 x) + 2 h \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 h (2 h + 4 x - 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h (2 h + 4 x - 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2 (2 h + 4 x - 1)$ durch $1$ .

$2 (2 h + 4 x - 1)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 h) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 h + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 h + 8 x + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 h + 8 x - 2$

Schritt 4.4

Stelle $4 h$ und $8 x$ um.

$8 x + 4 h - 2$

Schritt 5