Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 - 4 x - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache $5 - 4 x - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Bewege $5$ .

$y = - 4 x - x^{2} + 5$

Schritt 1.1.2

Stelle $- 4 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} - 4 x + 5$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 4 x + 5$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 5$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Schritt 1.2.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$d = - - 2$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 5 - - 4$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $5$ und $4$ .

$e = 9$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 2)}^{2} + 9$ ein.

$- {(x + 2)}^{2} + 9$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + 2)}^{2} + 9$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 2$

$k = 9$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 9)$

Schritt 4