Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} - x - 6$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - x - 6$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = - 6$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{25}{4}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Schritt 4