Elementarmathematik Beispiele

$v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Schritt 1

Schreibe $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{- y}}{3} - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$ um.

$\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$

Schritt 3.2

Löse nach $\sqrt{- y}$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sqrt{- y}}{3} = x + 3$

Schritt 3.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{- y} = 3 (x + 3)$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Vereinfache $3 (x + 3)$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{- y} = 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{- y} = 3 x + 9$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- y}$ als ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- y)}^{1} = {(3 x + 9)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$- y = {(3 x + 9)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(3 x + 9)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(3 x + 9)}^{2}$ als $(3 x + 9) (3 x + 9)$ um.

$- y = (3 x + 9) (3 x + 9)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(3 x + 9) (3 x + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = 3 x (3 x + 9) + 9 (3 x + 9)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x + 9)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 9 \cdot 9$

Schritt 3.4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 81$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Addiere $27 x$ und $27 x$ .

$- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{9 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (9 x^{2})$ als $- (9 x^{2})$ um.

$y = - (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{54 x}{- 1}$ .

$y = - 9 x^{2} - 1 \cdot (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (54 x)$ als $- (54 x)$ um.

$y = - 9 x^{2} - (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.6

Mutltipliziere $54$ mit $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x + \frac{81}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.7

Dividiere $81$ durch $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Schritt 4

Replace $y$ with $v^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Schritt 5

Überprüfe, ob $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ die Umkehrfunktion von $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $v^{- 1} (v (x)) = x$ ist und $v (v^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $v^{- 1} (v (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$v^{- 1} (v (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $v$ in $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 {(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2} - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 ((\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{- x}$ mit $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{- x}$ mit $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{- x}}^{2}$ als $- x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x}$ als ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.2.5

Vereinfache.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 (- 1)) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \sqrt{- x} \cdot - 1 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 1 \cdot \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.6

Schreibe $- 1 \sqrt{- x}$ als $- \sqrt{- x}$ um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 1 \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.8

Schreibe $- 1 \sqrt{- x}$ als $- \sqrt{- x}$ um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.1.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.3.2

Subtrahiere $\sqrt{- x}$ von $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 2 \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.3.5.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{9}$ in den Zähler.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 \frac{- x}{9} - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 1 (- x) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 1 x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.5.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 54 \cdot - 3 - 81$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 54$ heraus.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 (- 18) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Schritt 5.2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 \cdot (- 18 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Schritt 5.2.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} - 54 \cdot - 3 - 81$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $- 54$ mit $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $18 \sqrt{- x}$ von $18 \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0 - 81 + 162 - 81$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 81 + 162 - 81$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $- 81$ und $162$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 81 - 81$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 81 - 81$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $v (v^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$v (v^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $v (- 9 x^{2} - 54 x - 81)$ durch Einsetzen des Wertes von $v^{- 1}$ in $v$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 x^{2} - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x^{2} - 54 x - 81$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 54 x$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) - 81)}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 81$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x)$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9)$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 5.3.3.1.2.1.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6 x$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2.1.2

Schreibe $- 6$ um als $- 3$ plus $- 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} + (- 3 - 3) x - 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 3 x - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x^{2} - 3 x) - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (x (- x - 3) + 3 (- x - 3)))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x - 3) (x + 3)))}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 1 \cdot 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.4

Schreibe $- (x + 3)$ als $- 1 (x + 3)$ um.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- 1 (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.5

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.6

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{1 + 1}))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{2}))}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.3.9

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 {(x + 3)}^{2})}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.5

Schreibe $9 {(x + 3)}^{2}$ als ${(3 (x + 3))}^{2}$ um.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{{(3 (x + 3))}^{2}}}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 9}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.9

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 9$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x) + 9}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.9.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.1.9.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 3$ heraus.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Schritt 5.3.3.2.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x$

Schritt 5.4

Da $v^{- 1} (v (x)) = x$ und $v (v^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$