Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ als Gleichung.

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y + \frac{1}{3} = x$ um.

$2 y + \frac{1}{3} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = x - \frac{1}{3}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x - \frac{1}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x - \frac{1}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Um $2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kombiniere $2 x$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{6 x + 1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- \frac{1}{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$