Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (x - 5)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (x - 5)$ als Gleichung.

$y = \ln (x - 5)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (y - 5)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y - 5) = x$ um.

$\ln (y - 5) = x$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y - 5)} = e^{x}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (y - 5) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 5$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y - 5 = e^{x}$ um.

$y - 5 = e^{x}$

Schritt 3.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{x} + 5$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (x - 5)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (x - 5))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

Schritt 5.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 5)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (e^{x} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x} + 5) = \ln ((e^{x} + 5) - 5)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(e^{x} + 5) - 5$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (e^{x} + 5) = \ln (e^{x} + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$f (e^{x} + 5) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{x} + 5) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{x} + 5) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (e^{x} + 5) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 5$