Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ als Gleichung.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ um.

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (3 y + 6) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 y + 6 = e^{x}$ um.

$3 y + 6 = e^{x}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = e^{x} - 6$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = e^{x} - 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = e^{x} - 6$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Dividiere $- 6$ durch $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Schritt 5.2.4.2.2

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{e^{x}}{3}$ und $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.3.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Schritt 5.3.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Schritt 5.3.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$