Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ als Gleichung.

$y = \frac{8 x - 6}{15}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{8 y - 6}{15}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{8 y - 6}{15} = x$ um.

$\frac{8 y - 6}{15} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $15$ .

$\frac{8 y - 6}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{8 y - 6}{15} \cdot 15$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y - 6$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y$ heraus.

$\frac{2 (4 y) - 6}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (4 y) + 2 (- 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 y) + 2 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 (4 y - 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 y - 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (4 y - 3) = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 y) + 2 \cdot - 3 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 y + 2 \cdot - 3 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.1.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$8 y - 6 = x \cdot 15$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $15$ auf die linke Seite von $x$ .

$8 y - 6 = 15 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = 15 x + 6$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = 15 x + 6$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = 15 x + 6$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 (3)}{8}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{8 x - 6}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x - 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x) - 6}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x) + 2 (- 3)}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x - 3)}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $15$ und $\frac{2 (4 x - 3)}{15}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{30 (4 x - 3)}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{30 (4 x - 3)}{15}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $15$ aus $30 (4 x - 3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15 (1)}}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15 \cdot 1}}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{2 (4 x - 3)}{1}}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $2 (4 x - 3)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{8} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 6}{15}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 6$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})$ heraus.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) - 6}{15}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) + 2 (- 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) + 2 (- 3)$ heraus.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{4 (2)}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{4 \cdot 2}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 3 - 3)}{15}$

Schritt 5.3.3.5

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 0)}{15}$

Schritt 5.3.3.6

Addiere $\frac{15 x}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2})}{15}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{15 x}{2}$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2}}{15}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{30 x}{2}}{15}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{30 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $30 x$ heraus.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2}}{15}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2 (1)}}{15}$

Schritt 5.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2 \cdot 1}}{15}$

Schritt 5.3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{15 x}{1}}{15}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $15 x$ durch $1$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{15 x}{15}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{15 x}{15}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$