Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2 x + 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{2 y + 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2 y + 5} = x$ um.

$\frac{1}{2 y + 5} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 y + 5, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$2 y + 5, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 y + 5$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 y + 5} = x$ mit $2 y + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 y + 5} = x$ mit $2 y + 5$ .

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (2 y + 5)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x (2 y) + x \cdot 5$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 2 x y + x \cdot 5$

Schritt 3.3.3.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = 2 x y + 5 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x y + 5 x = 1$ um.

$2 x y + 5 x = 1$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y = 1 - 5 x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x y = 1 - 5 x$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x y = 1 - 5 x$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Schritt 3.4.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Schritt 3.4.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 5})} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 5}} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = 1 (\frac{2 x + 5}{2}) - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{2 x + 5}{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 5 + 5}$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = 1 x$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$