Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ als Gleichung.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3^{y + 1} - 2 = x$ um.

$3^{y + 1} - 2 = x$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{y + 1} = x + 2$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln (3^{y + 1})$ durch Herausziehen von $y + 1$ aus dem Logarithmus.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache $(y + 1) \ln (3)$ .

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Schritt 3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Schritt 3.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Schritt 3.7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Schritt 3.8

Subtrahiere $\ln (\frac{3}{x + 2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Schritt 3.9

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Schritt 3.9.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $3^{x + 1}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Schritt 5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$