Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{y + 1} = x$ um.

$\frac{3}{y + 1} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 1, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 1, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 1$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y + 1} = x$ mit $y + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y + 1} = x$ mit $y + 1$ .

$\frac{3}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = x (y + 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x y + x \cdot 1$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 = x y + x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y + x = 3$ um.

$x y + x = 3$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y = 3 - x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x y = 3 - x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 3 - x$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = \frac{3}{x} - 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = \frac{3}{\frac{3}{x + 1}} - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3}{x} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3}{x} - 1) = \frac{3}{(\frac{3}{x} - 1) + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{3}{x} - 1) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 0}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{3}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{3}{x} - 1) = \frac{3}{\frac{3}{x}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3}{x} - 1) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3}{x} - 1) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3}{x} - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$