Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = \frac{- 4 x - 4}{5}$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = \frac{- 4 x - 4}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{- 4 x - 4}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{- 4 y - 4}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{- 4 y - 4}{5} = x$ um.

$\frac{- 4 y - 4}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{- 4 y - 4}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{- 4 y - 4}{5} \cdot 5$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y - 4$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{4 (- y) - 4}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- y) + 4 (- 1)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- y) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 (- y - 1)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- y - 1)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (- y - 1) = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- y) + 4 \cdot - 1 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 y + 4 \cdot - 1 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.1.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 y - 4 = x \cdot 5$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 4 y - 4 = 5 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = 5 x + 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 5 x + 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = 5 x + 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{5 x}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{5 x}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{4}{- 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$y = - \frac{5 x}{4} - 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $g^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} - 1$ die Umkehrfunktion von $g (x) = \frac{- 4 x - 4}{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $g^{- 1} (g (x)) = x$ ist und $g (g^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $g^{- 1} (g (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g^{- 1} (g (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{5 (\frac{- 4 x - 4}{5})}{4} - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{5 (\frac{4 (- x) - 4}{5})}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{5 (\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{5})}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (- 1)$ heraus.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{5 (\frac{4 (- x - 1)}{5})}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{4 (- x - 1)}{5}$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{\frac{5 (4 (- x - 1))}{5}}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{\frac{20 (- x - 1)}{5}}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{20 (- x - 1)}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $20 (- x - 1)$ heraus.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{\frac{5 (4 (- x - 1))}{5}}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{\frac{5 (4 (- x - 1))}{5 (1)}}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{\frac{5 (4 (- x - 1))}{5 \cdot 1}}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{\frac{4 (- x - 1)}{1}}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $4 (- x - 1)$ durch $1$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{4 (- x - 1)}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - \frac{4 (- x - 1)}{4} - 1$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $- x - 1$ durch $1$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = - (- x - 1) - 1$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.3.7

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = 1 x + 1 - 1$

Schritt 5.2.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$g^{- 1} (\frac{- 4 x - 4}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $g (g^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$g (g^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $g (- \frac{5 x}{4} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $g^{- 1}$ in $g$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- 4 (- \frac{5 x}{4} - 1) - 4}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (- \frac{5 x}{4} - 1) - 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- 4 (- \frac{5 x}{4} - 1) - 4 \cdot 1}{5}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (- \frac{5 x}{4} - 1) - 4 (1)$ heraus.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- 4 (- \frac{5 x}{4} - 1 + 1)}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- 4 (- \frac{5 x}{4} + 0)}{5}$

Schritt 5.3.3.3

Addiere $- \frac{5 x}{4}$ und $0$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- 4 \cdot (- 1 \frac{5 x}{4})}{5}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- (- 4 \frac{5 x}{4})}{5}$

Schritt 5.3.3.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5 x}{4}$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- \frac{- 4 (5 x)}{4}}{5}$

Schritt 5.3.3.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- \frac{- 20 x}{4}}{5}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20 x$ heraus.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- \frac{4 (- 5 x)}{4}}{5}$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- \frac{4 (- 5 x)}{4 (1)}}{5}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- \frac{4 (- 5 x)}{4 \cdot 1}}{5}$

Schritt 5.3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- \frac{- 5 x}{1}}{5}$

Schritt 5.3.3.5.2.4

Dividiere $- 5 x$ durch $1$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{- (- 5 x)}{5}$

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$g (- \frac{5 x}{4} - 1) = x$

Schritt 5.4

Da $g^{- 1} (g (x)) = x$ und $g (g^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $g^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $g (x) = \frac{- 4 x - 4}{5}$ .

$g^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} - 1$