Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 8 x^{3} - 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 x^{3} - 5$ als Gleichung.

$y = 8 x^{3} - 5$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 y^{3} - 5$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 y^{3} - 5 = x$ um.

$8 y^{3} - 5 = x$

Schritt 3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{3} = x + 5$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{3} = x + 5$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{3} = x + 5$ durch $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$ .

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{8}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $\frac{x + 5}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)$ um.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $x + 5$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{8}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $8$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}}$

Schritt 3.5.2.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)}$

Schritt 3.5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x + 5}$

Schritt 3.5.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{x + 5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 x^{3} - 5$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 x^{3} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} - 5) + 5}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $8 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})}^{3} - 5$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x + 5}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 5}}^{3}$ als $x + 5$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 5 - 5$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$