Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = e^{x + 4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{x + 4}$ als Gleichung.

$y = e^{x + 4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{y + 4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{y + 4} = x$ um.

$e^{y + 4} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y + 4}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{y + 4})$ durch Herausziehen von $y + 4$ aus dem Logarithmus.

$(y + 4) \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y + 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $y + 4$ mit $1$ .

$y + 4 = \ln (x)$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (x) - 4$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{x + 4}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{x + 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = \ln (e^{x + 4}) - 4$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 4$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \ln (e) - 4$

Schritt 5.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \cdot 1 - 4$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 4 - 4$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (x) - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{(\ln (x) - 4) + 4}$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\ln (x) - 4) + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x) + 0}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\ln (x)$ und $0$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (x) - 4) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$