Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ als Gleichung.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{y + 1} = x$ um.

$- \sqrt{y + 1} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{y + 1} = x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sqrt{y + 1} = x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\sqrt{y + 1}$ durch $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\sqrt{y + 1} = - x$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 1}$ als ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(- x)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.4.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{x + 1}$ an.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 5.2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 5.2.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Schritt 5.2.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Schritt 5.2.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Schritt 5.2.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Schritt 5.2.3.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.4

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$