Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x - 6}{4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y - 6}{4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y - 6}{4} = x$ um.

$\frac{3 y - 6}{4} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{3 y - 6}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 y - 6}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y - 6$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{3 (y) - 6}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 y + 3 \cdot - 2}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 y + 3 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{3 (y - 2)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y - 2)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (y - 2) = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 3 \cdot - 2 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$3 y - 6 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y - 6 = 4 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 4 x + 6$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 x + 6$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 4 x + 6$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x}{3} + \frac{6}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x}{3} + \frac{6}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{6}{3}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 x - 6}{4})}{3} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 (x) - 6}{4})}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 x + 3 \cdot - 2}{4})}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 (x - 2)}{4})}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (x - 2)}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{12 (x - 2)}{4}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{12 (x - 2)}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 (x - 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4 (1)}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4 \cdot 1}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{3 (x - 2)}{1}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $3 (x - 2)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{4 x}{3} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 2) - 6}{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{4 x}{3} + 2) - 6$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 2) + 3 \cdot - 2}{4}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{4 x}{3} + 2) + 3 \cdot - 2$ heraus.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 2 - 2)}{4}$

Schritt 5.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 0)}{4}$

Schritt 5.3.3.3

Addiere $\frac{4 x}{3}$ und $0$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3})}{4}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{4 x}{3}$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3}}{4}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{12 x}{3}}{4}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{12 x}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3}}{4}$

Schritt 5.3.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3 (1)}}{4}$

Schritt 5.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3 \cdot 1}}{4}$

Schritt 5.3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{4 x}{1}}{4}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$