Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 - x}{4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 - x}{4}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 - x}{4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 - y}{4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 - y}{4} = x$ um.

$\frac{3 - y}{4} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{3 - y}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 - y}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - y}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - y = x \cdot 4$

Schritt 3.3.1.1.2

Stelle $3$ und $- y$ um.

$- y + 3 = x \cdot 4$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- y + 3 = 4 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = 4 x - 3$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = 4 x - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = 4 x - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{4 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{4 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 x}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (4 x)$ als $- (4 x)$ um.

$y = - (4 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = - 4 x + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.4

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$y = - 4 x + 3$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 - x}{4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 - x}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 4 \frac{3 - x}{4} + 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = 4 (- 1) (\frac{3 - x}{4}) + 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = 4 \cdot (- 1 \frac{3 - x}{4}) + 3$

Schritt 5.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 1 (3 - x) + 3$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 1 \cdot 3 - 1 (- x) + 3$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 3 - 1 (- x) + 3$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 3 + 1 x + 3$

Schritt 5.2.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = - 3 + x + 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 + x + 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - x}{4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 4 x + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 - (- 4 x + 3)}{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 - (- 4 x) - 1 \cdot 3}{4}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 + 4 x - 1 \cdot 3}{4}$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{3 + 4 x - 3}{4}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f (- 4 x + 3) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 4 x + 3) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (- 4 x + 3) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 - x}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 x + 3$