Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $5 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y x - 6 y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y x$ heraus.

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 6 y$ heraus.

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (x) + 3 y (- 2)$ heraus.

$3 y (x - 2) = 5 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y (x - 2) = 5 x$ durch $3 (x - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y (x - 2) = 5 x$ durch $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x - 2 (3 x - 5)$ heraus.

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Schritt 5.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (3 x - 5)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.4.6

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Schritt 5.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $30$ aus $30 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 5$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $6$ und $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Schritt 5.3.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 5 (x - 2)$ heraus.

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Schritt 5.3.4.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (x - 2)$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Addiere $0$ und $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $30 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Schritt 5.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Schritt 5.3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 5.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Schritt 5.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$