Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{2 x^{2} - 7 x}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{2 x^{2} - 7 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} - 7 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} - 7 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$x (2 x) - 7 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$x (2 x) + x \cdot - 7 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x) + x \cdot - 7$ heraus.

$x (2 x - 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{7}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6