Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45 = 0$ um.

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 5 x^{2}) - 9 x + 45 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 5) - 9 (x - 5) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 5$ .

$(x - 5) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 5) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 5) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 3, 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0), (- 3, 0), (3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 45$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 45$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 45$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 45$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 45$

Schritt 2.2.4.2.3

Addiere $0$ und $45$ .

$y = 45$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 45)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0), (- 3, 0), (3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 45)$

Schritt 4