Elementarmathematik Beispiele

$F (x) = 4 x^{4} + 5 x^{3} + 29 x^{2} + 35 x + 7$

Schritt 1

Setze $4 x^{4} + 5 x^{3} + 29 x^{2} + 35 x + 7$ gleich $0$ .

$4 x^{4} + 5 x^{3} + 29 x^{2} + 35 x + 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$5 x^{3} + 35 x + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{3} + 35 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$5 x (x^{2}) + 35 x + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $5 x$ aus $35 x$ heraus.

$5 x (x^{2}) + 5 x (7) + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{2}) + 5 x (7)$ heraus.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 {(x^{2})}^{2} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + 29 u + 7 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ und deren Summe gleich $b = 29$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $29$ aus $29 u$ heraus.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + 29 (u) + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Schreibe $29$ um als $1$ plus $28$

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + (1 + 28) u + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + 1 u + 28 u + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + u + 28 u + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + u + 28 u + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 x (x^{2} + 7) + u (4 u + 1) + 7 (4 u + 1) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u + 1$ .

$5 x (x^{2} + 7) + (4 u + 1) (u + 7) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 7) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $5 x (x^{2} + 7) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $5 x (x^{2} + 7)$ heraus.

$(x^{2} + 7) (5 x) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $(4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7)$ heraus.

$(x^{2} + 7) (5 x) + (x^{2} + 7) (4 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $(x^{2} + 7) (5 x) + (x^{2} + 7) (4 x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 7) (5 x + 4 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 7) (5 u + 4 u^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + 5 u + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.1.9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + 5 (u) + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + (1 + 4) u + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + u + 4 u + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 7) ((4 u^{2} + u) + 4 u + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 7) (u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u + 1$ .

$(x^{2} + 7) ((4 u + 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 7) ((4 x + 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 7) (4 x + 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 7$ gleich $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 7$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (7)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{7}$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{7}$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{7}$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Schritt 2.4

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 7) (4 x + 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}, - \frac{1}{4}, - 1$

Schritt 3