Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$ gleich $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} - 25 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 25 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (25)$ heraus.

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ und deren Summe gleich $b = 49$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $49$ aus $49 u$ heraus.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Schreibe $49$ um als $- 1$ plus $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Schritt 2.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- x (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.9.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 25$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (25)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Schritt 2.3.2.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 5$

Schritt 2.3.2.3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 5 i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 i, - 5 i$

Schritt 2.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 3