Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ gleich $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

Schritt 2.1.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Schritt 2.1.6.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Schritt 2.1.6.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ heraus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.7.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.1.7.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $- 1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.7.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.7.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 x (- x - 1) (x + 2)$ heraus.

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ heraus.

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9

Multipliziere $(x^{2} + 4) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.10.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Schritt 2.1.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

Schritt 2.1.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.14.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.14.1.1

Bewege $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

Schritt 2.1.14.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

Schritt 2.1.15

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

Schritt 2.1.16

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Schritt 2.1.17

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.17.1

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.17.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.17.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

Schritt 2.1.17.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.17.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

Schritt 2.1.17.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 2.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 3