Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2}$

Schritt 1

Setze $x^{4} - x^{3} - 12 x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - x^{3} - 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) - 12 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - x) + x^{2} \cdot - 12 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - x) + x^{2} \cdot - 12$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - x - 12) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{2} ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4, - 3$

Schritt 3