Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1 - y^{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Schritt 5

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ .

$2 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Schreibe ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{4}$ als ${((1 + y) (1 - y))}^{2}$ um.

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Schritt 6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ als ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{4}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.2

Multipliziere $(1 + y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 {(1 (1 - y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 {(1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$2 {(1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 {(1 - y + y + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 {(1 - y + y - y \cdot y)}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$2 {(1 - y + y - (y \cdot y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 {(1 - y + y - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$2 {(1 + 0 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$2 {(1 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.4

Schreibe ${(1 - y^{2})}^{2}$ als $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ um.

$2 ((1 - y^{2}) (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.5

Multipliziere $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (1 (1 - y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 (1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $- y^{2}$ mit $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.5

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.5.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.1.7

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $y^{2}$ von $- y^{2}$ .

$2 (1 - 2 y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.8

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.9

Schreibe ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ als $(1 + y) (1 - y)$ um.

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Schritt 6.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ als ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{1} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.9.5

Vereinfache.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 ((1 + y) (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.10

Multipliziere $(1 + y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 (1 - y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y \cdot y) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.11.1.5.1

Bewege $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - (y \cdot y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 0 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.11.3

Addiere $1$ und $0$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.12

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 \cdot 1 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 - 3 y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.15

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.16

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.16.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 (y^{2} y^{2}) + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.16.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2 + 2} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 6.16.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 7.1

Addiere $- 4 y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

Schritt 7.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2}$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4} + 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$ und $0$ .

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $3 y^{4}$ von $2 y^{4}$ .

$2 - y^{4} + y^{4}$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 - y^{4} + y^{4}$ .

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Schritt 7.4.1

Addiere $- y^{4}$ und $y^{4}$ .

$2 + 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$