Elementarmathematik Beispiele

$6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 11 x^{3} + 99 x + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 2

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 11 x^{3} + 99 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 11 x^{3}$ heraus.

$- 11 x (x^{2}) + 99 x + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 11 x$ aus $99 x$ heraus.

$- 11 x (x^{2}) - 11 x (- 9) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 11 x$ aus $- 11 x (x^{2}) - 11 x (- 9)$ heraus.

$- 11 x (x^{2} - 9) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 11 x (x^{2} - 3^{2}) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 4

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 11 x ((x + 3) (x - 3)) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Schritt 5

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{4}$ heraus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) - 51 x^{2} - 27$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 51 x^{2}$ heraus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2}) - 27$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2}) + 3 (- 9)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2})$ heraus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4} - 17 x^{2}) + 3 (- 9)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x^{4} - 17 x^{2}) + 3 (- 9)$ heraus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4} - 17 x^{2} - 9)$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 9)$

Schritt 7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} - 17 u - 9)$

Schritt 8

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 u$ heraus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} - 17 (u) - 9)$

Schritt 8.1.2

Schreibe $- 17$ um als $1$ plus $- 18$

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + (1 - 18) u - 9)$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + 1 u - 18 u - 9)$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + u - 18 u - 9)$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 u^{2} + u) - 18 u - 9)$

Schritt 8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (u (2 u + 1) - 9 (2 u + 1))$

Schritt 8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 u + 1) (u - 9))$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x^{2} - 9))$

Schritt 10

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2}))$

Schritt 11

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3)))$

Schritt 11.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 12

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 11 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 12.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + (x + 3) (x - 3) (3 (2 x^{2} + 1))$

Schritt 12.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + (x + 3) (x - 3) (3 (2 x^{2} + 1))$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 3 (2 x^{2} + 1))$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 3 (2 x^{2}) + 3 \cdot 1)$

Schritt 14

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Schritt 15

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 6 x^{2} + 3)$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 x + 3)$

Schritt 17

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 3 = 18$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 (x) + 3)$

Schritt 17.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 2$ plus $- 9$

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} + (- 2 - 9) x + 3)$

Schritt 17.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 2 x - 9 x + 3)$

Schritt 17.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) (x - 3) ((6 x^{2} - 2 x) - 9 x + 3)$

Schritt 17.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) (x - 3) (2 x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Schritt 17.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((3 x - 1) (2 x - 3))$

Schritt 17.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (3 x - 1) (2 x - 3)$