Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 10 x^{3} + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 2

Faktorisiere $- 10 x$ aus $- 10 x^{3} + 40 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 10 x$ aus $- 10 x^{3}$ heraus.

$- 10 x (x^{2}) + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 10 x$ aus $40 x$ heraus.

$- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 10 x$ aus $- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4)$ heraus.

$- 10 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 10 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 10 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Schritt 5

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) - 9 x^{2} - 12$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) + 3 (- 3 x^{2}) - 12$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2})$ heraus.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Schritt 5.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$ heraus.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$

Schritt 6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4)$

Schritt 7

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (u^{2} - 3 u - 4)$

Schritt 8

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((u - 4) (u + 1))$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1))$

Schritt 10

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1))$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Schritt 12

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 10 x (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Schritt 12.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$

Schritt 12.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + (3) (x^{2} + 1))$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Schritt 14

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3)$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 x + 3)$

Schritt 16

Faktorisiere.

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Schritt 16.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 16.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 16.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 (x) + 3)$

Schritt 16.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3)$

Schritt 16.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3)$

Schritt 16.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 16.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (x - 2) ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3)$

Schritt 16.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x - 2) (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Schritt 16.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x - 1) (x - 3))$

Schritt 16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (3 x - 1) (x - 3)$