Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$

Schritt 1

Faktorisiere $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

$3 {(- 2)}^{3} + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$3 \cdot - 8 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

Schritt 1.3.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 24 + 16 \cdot 4 + 28 \cdot - 2 + 16$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$- 24 + 64 + 28 \cdot - 2 + 16$

Schritt 1.3.6

Addiere $- 24$ und $64$ .

$40 + 28 \cdot - 2 + 16$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $28$ mit $- 2$ .

$40 - 56 + 16$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $56$ von $40$ .

$- 16 + 16$

Schritt 1.3.9

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16}{x + 2}$

Schritt 1.5

Dividiere $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ durch $x + 2$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 6 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$20 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} + 20 x$

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x + 16$

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} + 10 x + 8$

Schritt 1.6

Schreibe $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 x + 8)$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 (x) + 8)$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $10$ um als $4$ plus $6$

$(x + 2) (3 x^{2} + (4 + 6) x + 8)$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8)$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) ((3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8)$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4))$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$(x + 2) ((3 x + 4) (x + 2))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (3 x + 4) (x + 2)$