Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 1$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 u$ heraus.

$4 u^{2} - 5 (u) + 1$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Schritt 5

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 1)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1)$

Schritt 8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1^{2})$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 1) (x - 1)$