Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Schritt 4.1.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $9$ .

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $81$ und $27$ .

$108 - 99 + 3 - 12$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $99$ von $108$ .

$9 + 3 - 12$

Schritt 4.2.3

Addiere $9$ und $3$ .

$12 - 12$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 11)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (1)$ heraus.

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 9.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere $u^{2} - 11 u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 12, 1$

Schritt 9.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

Schritt 9.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 9.7

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 9.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 9.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

Schritt 9.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Schritt 9.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Schritt 9.9

Faktorisiere $- u + u^{2} - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 9.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Schritt 9.10

Faktorisiere.

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Schritt 9.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 9.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 11.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 12

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 13

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, 4, - 3$

Schritt 15