Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0 - 12 + 12$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$- 12 + 12$

Schritt 4.2.5

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 12)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

Schritt 6.13

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

Schritt 6.14

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{4} - x^{2} - 12$

Schritt 7

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

Schritt 8

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

Schritt 9

Faktorisiere $u^{2} - u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

Schritt 11

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

Schritt 12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

Schritt 13

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x^{3} - 12 x$ heraus.

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 12 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ heraus.

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.5

Faktorisiere $u^{2} - u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 13.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.8

Faktorisiere.

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Schritt 13.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.9

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

Schritt 13.10

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

Schritt 13.11

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 13.11.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 13.11.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

Schritt 13.11.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

Schritt 13.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Schritt 13.11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Schritt 13.11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

Schritt 13.11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

Schritt 13.12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 13.13

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 13.14

Faktorisiere.

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Schritt 13.14.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 13.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 13.15

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 13.15.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 13.15.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.15.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.16

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.17

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.17.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 13.17.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.17.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.17.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.18

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Schritt 13.19

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Schritt 13.20

Faktorisiere.

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Schritt 13.20.1

Schreibe $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 13.20.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.20.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Schritt 13.20.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Schritt 13.20.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 13.20.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Schritt 14

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 15

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 15.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 16

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 16.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 17

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 17.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 17.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 18

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 18.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 18.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 18.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 18.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 18.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 18.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 18.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 18.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 18.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 18.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 18.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 19

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 20