Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 40 x^{2} - 441$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(3)}^{4} + 40 {(3)}^{2} - 441$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 + 40 {(3)}^{2} - 441$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 + 40 \cdot 9 - 441$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $40$ mit $9$ .

$81 + 360 - 441$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $81$ und $360$ .

$441 - 441$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $441$ von $441$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 40 x^{2} - 441}{x - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$	$3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(40)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$49$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(49)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(147)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(147)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(441)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 441)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (49) x + 147$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 3 x^{2} + 49 x + 147$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 49 x + 147$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 49)$

Schritt 9

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 40 u - 441 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 10

Faktorisiere $u^{2} + 40 u - 441$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 441$ und deren Summe $40$ ist.

$- 9, 49$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u + 49) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 49 = 0$

Schritt 12

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

Schritt 13

Setze $u + 49$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $u + 49$ gleich $0$ .

$u + 49 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 49$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 9) (u + 49) = 0$ wahr machen.

$u = 9, - 49$

Schritt 15

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Schritt 16

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 9$

Schritt 17

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 17.2

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 17.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 17.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 17.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 17.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 17.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 17.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 18

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Schritt 19

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 49$

Schritt 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Schritt 19.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Schritt 19.3.1

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Schritt 19.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (49)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Schritt 19.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Schritt 19.3.4

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Schritt 19.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 7$

Schritt 19.3.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 7 i$

Schritt 19.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 19.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 7 i$

Schritt 19.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 7 i$

Schritt 19.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 7 i, - 7 i$

Schritt 20

Die Lösung von $x^{4} + 40 x^{2} - 441 = 0$ ist $x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$ .

$x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$

Schritt 21