Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $49$ mit $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 25$ mit $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $49$ .

$50 - 25 - 25$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $25$ von $50$ .

$25 - 25$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(50)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(50)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(25)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} - 25 x$ heraus.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 25 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (25)$ heraus.

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 9.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ und deren Summe gleich $b = 49$ ist.

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Schritt 9.5.1.1

Faktorisiere $49$ aus $49 u$ heraus.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Schritt 9.5.1.2

Schreibe $49$ um als $- 1$ plus $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Schritt 9.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Schritt 9.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Schritt 9.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Schritt 9.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Schritt 9.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 9.7

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

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Schritt 9.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- x (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Schritt 9.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 9.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 9.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 9.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Schritt 9.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 9.9.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Schritt 9.9.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Schritt 9.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 9.9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Schritt 9.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Schritt 9.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Schritt 9.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 9.10

Faktorisiere.

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Schritt 9.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 9.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 11

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2} + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 25$

Schritt 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 25}$ .

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Schritt 11.2.3.1

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Schritt 11.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (25)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Schritt 11.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Schritt 11.2.3.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Schritt 11.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 5$

Schritt 11.2.3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 5 i$

Schritt 11.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 i$

Schritt 11.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 i$

Schritt 11.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 i, - 5 i$

Schritt 12

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 12.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 15