Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 6 \cdot - 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$1 + 6 + 4 {(- 1)}^{2} + 15 (- 1) + 4$

Schritt 4.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 6 + 4 \cdot 1 + 15 (- 1) + 4$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 6 + 4 + 15 (- 1) + 4$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$1 + 6 + 4 - 15 + 4$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $6$ .

$7 + 4 - 15 + 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $7$ und $4$ .

$11 - 15 + 4$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $15$ von $11$ .

$- 4 + 4$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$
	$1$	$- 7$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$
	$1$	$- 7$	$11$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(11)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 11)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 6$	$4$	$15$	$4$
		$- 1$	$7$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 7$	$11$	$4$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (11) x + 4$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 7.1.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$4^{3} - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$64 - 7 \cdot 4^{2} + 11 \cdot 4 + 4$

Schritt 7.1.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$64 - 7 \cdot 16 + 11 \cdot 4 + 4$

Schritt 7.1.3.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $16$ .

$64 - 112 + 11 \cdot 4 + 4$

Schritt 7.1.3.5

Subtrahiere $112$ von $64$ .

$- 48 + 11 \cdot 4 + 4$

Schritt 7.1.3.6

Mutltipliziere $11$ mit $4$ .

$- 48 + 44 + 4$

Schritt 7.1.3.7

Addiere $- 48$ und $44$ .

$- 4 + 4$

Schritt 7.1.3.8

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 7.1.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4}{x - 4}$

Schritt 7.1.5

Dividiere $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ durch $x - 4$ .

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Schritt 7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$11 x$

$4$

Schritt 7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$

Schritt 7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

Schritt 7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$

Schritt 7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 12 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$

Schritt 7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

Schritt 7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$

Schritt 7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							-	$x$	+	$4$

Schritt 7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 4$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$

Schritt 7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$11 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$x$	+	$4$
							+	$x$	-	$4$
										$0$

Schritt 7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 3 x - 1$

Schritt 7.1.6

Schreibe $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.4

Setze $x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x^{2} - 3 x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 7.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 7.4.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 7.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 7.4.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 7.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x^{2} - 3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 1) (x - 4) (x - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}) (x - \frac{3 - \sqrt{13}}{2})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 15 x + 4$ .

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, 4, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Dezimalform:

$x = - 1, 4, 3.30277563 \dots, - 0.30277563 \dots$

Schritt 11