Elementarmathematik Beispiele

$| 6 - 9 x | < 24$

Schritt 1

Schreibe $| 6 - 9 x | < 24$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$6 - 9 x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 9 x \geq - 6$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x \geq - 6$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 9 x \geq - 6$ durch $- 9$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 9 x}{- 9} \leq \frac{- 6}{- 9}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{- 9} \leq \frac{- 6}{- 9}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 6}{- 9}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 9$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$x \leq \frac{- 3 (2)}{- 9}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 9$ heraus.

$x \leq \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \leq \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \leq \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $6 - 9 x$ nicht negativ ist.

$6 - 9 x < 24$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$6 - 9 x < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 9 x < - 6$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x < - 6$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 9 x < - 6$ durch $- 9$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{- 6}{- 9}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{- 6}{- 9}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 6}{- 9}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 9$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$x > \frac{- 3 (2)}{- 9}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 9$ heraus.

$x > \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x > \frac{- 3 \cdot 2}{- 3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x > \frac{2}{3}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $6 - 9 x$ negativ ist.

$- (6 - 9 x) < 24$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - (6 - 9 x) < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (6 - 9 x) < 24$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - 1 \cdot 6 - (- 9 x) < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - 6 - (- 9 x) < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 6 - 9 x < 24 & x \leq \frac{2}{3} \\ - 6 + 9 x < 24 & x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $6 - 9 x < 24$ , wenn $x \leq \frac{2}{3}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $6 - 9 x < 24$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 9 x < 24 - 6$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $6$ von $24$ .

$- 9 x < 18$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x < 18$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in $- 9 x < 18$ durch $- 9$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{18}{- 9}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{- 9} > \frac{18}{- 9}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{18}{- 9}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividiere $18$ durch $- 9$ .

$x > - 2$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 2$ und $x \leq \frac{2}{3}$ .

$- 2 < x \leq \frac{2}{3}$

Schritt 3

Löse $- 6 + 9 x < 24$ , wenn $x > \frac{2}{3}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 6 + 9 x < 24$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$9 x < 24 + 6$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $24$ und $6$ .

$9 x < 30$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x < 30$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x < 30$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} < \frac{30}{9}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} < \frac{30}{9}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{30}{9}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $9$ .

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$x < \frac{3 (10)}{9}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x < \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{10}{3}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{10}{3}$ und $x > \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} < x < \frac{10}{3}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 < x < \frac{10}{3}$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 2, \frac{10}{3})$

Schritt 6