Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 x - 2}{x + 5} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = - 5$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 5$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x - 2}{x + 5}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x - 2}{x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 5 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 8) - 2}{(- 8) + 5} > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) - 2}{(0) + 5} > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 0.4$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (4) - 2}{(4) + 5} > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > 1$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$

Schritt 12