Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{x + 1} > 6 x$

Schritt 1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{x + 1} - 6 x > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x + 1} - 6 x$ .

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Schritt 2.1

Um $- 6 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} - 6 x \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 6 x$ und $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} + \frac{- 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x - 6 x (x + 1)$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x (x + 1)$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))$ heraus.

$\frac{x (1 - 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (1 - 6 x - 6 \cdot 1)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{x (1 - 6 x - 6)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\frac{x (- 6 x - 5)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{x (- (6 x) - 5)}{x + 1} > 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{x (- (6 x) - 1 (5))}{x + 1} > 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{x (- (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (6 x + 5)$ als $- 1 (6 x + 5)$ um.

$\frac{x (- 1 (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- x = 0$

$6 x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 5$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 5$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 5$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{6}$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - \frac{5}{6}$

$x = - 1$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - \frac{5}{6}, - 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$

$- \frac{5}{6} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 4}{(- 4) + 1} > 6 (- 4)$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $- 24$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.92$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.92$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 0.92}{(- 0.92) + 1} > 6 (- 0.92)$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 11.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 5.52$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{6} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{6} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.42$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.42$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 0.42}{(- 0.42) + 1} > 6 (- 0.42)$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 0.72413793$ ist größer als die rechte Seite $- 2.52$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{(2) + 1} > 6 (2)$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Falsch

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Falsch

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $- \frac{5}{6} < x < 0$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 1) \cup (- \frac{5}{6}, 0)$

Schritt 15