Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 8 x^{2} < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 8 x^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 8 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{2} x - 8 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 8 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 8$ heraus.

$x^{2} (x - 8) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} - 8 {(- 2)}^{2} < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 40$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 64$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $200$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $0 < x < 8$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8)$

Schritt 11