Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \cdot 1 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Schritt 4.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 11 \cdot 1 - 7 \cdot 1 - 6$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$2 + 11 - 7 \cdot 1 - 6$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$2 + 11 - 7 - 6$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ und $11$ .

$13 - 7 - 6$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $7$ von $13$ .

$6 - 6$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(11)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$	$13$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(13)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(13)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$	$6$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(6)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 13 x + 6$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x$ heraus.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 13 (x) + 6$

Schritt 7.1.2

Schreibe $13$ um als $1$ plus $12$

$(x - 1) + 2 x^{2} + (1 + 12) x + 6$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + x + 12 x + 6$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (2 x^{2} + x) + 12 x + 6$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 8.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Schritt 8.1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.125$ .

$- 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Schritt 8.1.3.4

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$- 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Schritt 8.1.3.5

Mutltipliziere $11$ mit $0.25$ .

$- 0.25 + 2.75 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Schritt 8.1.3.6

Addiere $- 0.25$ und $2.75$ .

$2.5 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Schritt 8.1.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 0.5$ .

$2.5 + 3.5 - 6$

Schritt 8.1.3.8

Addiere $2.5$ und $3.5$ .

$6 - 6$

Schritt 8.1.3.9

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 8.1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{2 x + 1}$

Schritt 8.1.5

Dividiere $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 8.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$7 x$

$6$

Schritt 8.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Schritt 8.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 8.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 8.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Schritt 8.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 8.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 8.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 8.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} + 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 8.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Schritt 8.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Schritt 8.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Schritt 8.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Schritt 8.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Schritt 8.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 8.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 5 x - 6$

Schritt 8.1.6

Schreibe $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (x^{2} + 5 x - 6) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $5$ ist.

$- 1, 6$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x + 6)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 10

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 12

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 6$

Schritt 14