Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - \frac{1}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (8)} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.11

Multipliziere $- 7 (- \frac{1}{8})$ .

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Schritt 4.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{1}{8} + 7 (\frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.11.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.12.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.14

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (\frac{1}{4}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.17.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 (- 2) \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 \cdot - 2 \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.17.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.18.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Schritt 4.1.18.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 (7) \frac{- 1}{2} + 8$

Schritt 4.1.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 \cdot 7 \frac{- 1}{2} + 8$

Schritt 4.1.18.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 7 \cdot - 1 + 8$

Schritt 4.1.19

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 - 7 + 8$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 - 7 + 8 + \frac{1 + 7}{8}$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $7$ .

$- 2 - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $- 7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.7

Schreibe $8$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{8}{8}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $\frac{8}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{8}{8}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 8 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{- 16 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 64 + 8}{8}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Subtrahiere $56$ von $- 16$ .

$\frac{- 72 + 64 + 8}{8}$

Schritt 4.6.2

Addiere $- 72$ und $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{8}$

Schritt 4.6.3

Addiere $- 8$ und $8$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + \frac{1}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8}{x + \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$	$- 8$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(14)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(16)$ mit dem Divisor $(- \frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{3} + - 8 x^{2} + (- 4) x + 16$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 8 x^{2} - 4 x + 16)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4 x + 16)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2})$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8)$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8$ heraus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8))$

Schritt 8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8))$

Schritt 8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x^{2} - 2)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x^{2} - 2))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Gruppiere die Terme um.

$- 7 x^{3} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3} + 14 x$ heraus.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 10.2.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $14 x$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 2)$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} - 8 x^{2} + 8$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) - 8 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 4 x^{2}) + 8 = 0$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2})$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Schritt 10.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4$ heraus.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 10.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 10.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Schritt 10.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 10.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Schritt 10.6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 10.6.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 10.6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(u - 2)}^{2} = 0$

Schritt 10.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Schritt 10.8

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ heraus.

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Schritt 10.8.1

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $- 7 x (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Schritt 10.8.2

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 10.8.3

Faktorisiere $x^{2} - 2$ aus $(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2))$ heraus.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 10.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 10.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 10.11

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Schritt 10.12

Faktorisiere.

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Schritt 10.12.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.12.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 10.12.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Schritt 10.12.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $1$ plus $- 8$

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Schritt 10.12.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Schritt 10.12.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Schritt 10.12.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.12.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} - 2) ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Schritt 10.12.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} - 2) (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 10.12.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Schritt 10.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 12

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 12.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 12.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 12.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 13

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 14

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Dezimalform:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.5, 4$

Schritt 17