Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm 25, \pm \frac{25}{3}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm 175, \pm \frac{175}{3}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$3 {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$3 \cdot 125 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $125$ .

$375 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Schritt 4.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$375 - 7 \cdot 25 - 75 \cdot 5 + 175$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $25$ .

$375 - 175 - 75 \cdot 5 + 175$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 75$ mit $5$ .

$375 - 175 - 375 + 175$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $175$ von $375$ .

$200 - 375 + 175$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $375$ von $200$ .

$- 175 + 175$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 175$ und $175$ .

$0$

Schritt 5

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175}{x - 5}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

	$3$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$	$8$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(40)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 75)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$	$- 35$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 35)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 175)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(175)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{2} + 8 x - 35$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 35 = - 105$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$(x - 5) + 3 x^{2} + 8 (x) - 35$

Schritt 7.1.2

Schreibe $8$ um als $- 7$ plus $15$

$(x - 5) + 3 x^{2} + (- 7 + 15) x - 35$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 5) + 3 x^{2} - 7 x + 15 x - 35$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 5) (3 x^{2} - 7 x) + 15 x - 35$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 5) + x (3 x - 7) + 5 (3 x - 7)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 7$ .

$(x - 5) + (3 x - 7) (x + 5)$

$(x - 5) (3 x - 7) (x + 5)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

Schritt 8.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 8.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 8.4

Faktorisiere.

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Schritt 8.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 8.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 10

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Schritt 10.2

Löse $3 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 11

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 12

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

Schritt 14