Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 25$ mit $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $27$ von $27$ .

$0 - 75 + 75$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $75$ von $0$ .

$- 75 + 75$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 75$ und $75$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 25)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 75)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} - 25$

Schritt 7

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Schritt 9.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 9.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 9.4

Faktorisiere.

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Schritt 9.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 9.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 11

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 12

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 13

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5, 5$

Schritt 15