Elementarmathematik Beispiele

$y = 2 x^{2} + 3 x - 7$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{2} + 3 x - 7$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ um.

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 3$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $9$ und $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.1.3

Addiere $9$ und $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{65}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{65})}{4}$

Schritt 1.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{65})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{65})}{4}$

Schritt 1.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $9$ und $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.6.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{65}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{65})}{4}$

Schritt 1.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{65})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{65})}{4}$

Schritt 1.2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, 0), (- \frac{3 + \sqrt{65}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 7$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} + 3 (0) - 7$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 7$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 7$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 + 3 (0) - 7$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 + 3 (0) - 7$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 7$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 7$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$y = - 7$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 7)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, 0), (- \frac{3 + \sqrt{65}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 7)$

Schritt 4