Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 5 x^{3} = 25 x^{2} - 125 x$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} = - 125 x$

Schritt 1.2

Addiere $125 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 125 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 125 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{3} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 125 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) - 25 x^{2} + 125 x = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 25 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (- 25 x) + 125 x = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $125 x$ heraus.

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (- 25 x) + x \cdot 125 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2})$ heraus.

$x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (- 25 x) + x \cdot 125 = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (- 25 x)$ heraus.

$x (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x) + x \cdot 125 = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x) + x \cdot 125$ heraus.

$x (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x + 125) = 0$

Schritt 3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((x^{3} - 5 x^{2}) - 25 x + 125) = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{2} (x - 5) - 25 (x - 5)) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 5$ .

$x ((x - 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Schritt 5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x ((x - 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$x ((x - 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x - 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$x ((x - 5) (x - 5) (x + 5)) = 0$

Schritt 7.1.2

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$x ((x - 5) (x - 5) (x + 5)) = 0$

Schritt 7.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x ({(x - 5)}^{1 + 1} (x + 5)) = 0$

Schritt 7.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x ({(x - 5)}^{2} (x + 5)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x {(x - 5)}^{2} (x + 5) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze ${(x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 10.2

Löse ${(x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 10.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 11

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x - 5)}^{2} (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5, - 5$