Elementarmathematik Beispiele

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.1

Um $2^{7 - 3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $2^{7 - 3 x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

Schritt 2.4.3

Addiere $7$ und $2$ .

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

Schritt 2.4.4

Schreibe $2^{- 3 x + 9}$ als ${(2^{- x + 3})}^{3}$ um.

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

Schritt 2.4.5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

Schritt 2.4.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2^{- x + 3}$ und $b = 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Schritt 2.4.7

Vereinfache.

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Schritt 2.4.7.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{- x + 3})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.7.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Schritt 2.4.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Schritt 2.4.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Schritt 2.4.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $2^{- x + 3}$ mit $1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

Schritt 2.4.7.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2^{- x + 3} \cdot 1$ und $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ neu an.

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $1 \cdot 2^{- x + 3}$ von $1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.1.3

Addiere $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ und $0$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.1

Multipliziere $2^{- x + 3}$ mit $2^{- 2 x + 6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.1.3

Addiere $3$ und $6$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.2

Multipliziere $2^{- x + 3}$ mit $2^{- x + 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.3

Schreibe $- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ als $- 2^{- 2 x + 6}$ um.

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

Schritt 4.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Subtrahiere $2^{- 2 x + 6}$ von $2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $2^{- 3 x + 9}$ und $0$ .

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{- 3 x + 9} = 1$

Schritt 4.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

Schritt 4.4

Zerlege $\ln (2^{- 3 x + 9})$ durch Herausziehen von $- 3 x + 9$ aus dem Logarithmus.

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 4.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 4.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

Schritt 4.7

Subtrahiere $9 \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

Schritt 4.8

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ durch $- 3 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ durch $- 3 \ln (2)$ .

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $- 3$ .

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Schritt 4.8.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 9 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Schritt 4.8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 4.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 4.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 4.8.3.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$x = 3$