Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$

Schritt 1

Setze $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ gleich $0$ .

$12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.75$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $2$ .

$- 0.\overline{4} + 73 \cdot 0.\overline{1} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $73$ mit $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 8.11111111 + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Schritt 2.1.1.3.6

Addiere $- 0.\overline{4}$ und $8.11111111$ .

$7.66666666 + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Schritt 2.1.1.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$7.66666666 - 1.\overline{6} - 6$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $1.\overline{6}$ von $7.66666666$ .

$6 - 6$

Schritt 2.1.1.3.9

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6}{3 x + 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ durch $3 x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$73 x^{2}$

$5 x$

$6$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $69 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$69 x^{2}$	+	$23 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $69 x^{2} + 23 x$

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 18 x - 6$

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							+	$18 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} + 23 x - 6$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 23 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 6 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 x$ heraus.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 23 (x) - 6) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $23$ um als $- 1$ plus $24$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 1 + 24) x - 6) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 1 x + 24 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 1 x) + 24 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(3 x + 1) (x (4 x - 1) + 6 (4 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((4 x - 1) (x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x + 1) (4 x - 1) (x + 6) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 2.3

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (4 x - 1) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - 6$

Schritt 3